someone who can help me following Questions of Commutative Algebra and Algebraic geometry
���������� ��������� ����
������ �������
����������� ������� ��� ��������� ��������
������� ����������� ����
���������� ��������� ����
����
��� ���������� ���� P� ���� �� ��� ��������������
���������� ��������� ����
����
��� ���������� ���� P� ���� �� ��� �������������� ������� ����
����� A� �� ���������� ����� P� � ��� ����� ��������� ���� �� ���
���������� ��������� ����
����
��� ���������� ���� P� ���� �� ��� �������������� ������� ����
����� A� �� ���������� ����� P� � ��� ����� ��������� ���� �� ���
���������
��� � ∈ N� ���������� ������� P� = P�� ���� � �� ��� ��� �� ���
��������������� ������ ��������� �� ��� ������ ����� � �+� �
���������� ��������� ����
����
��� ���������� ���� P� ���� �� ��� �������������� ������� ����
����� A� �� ���������� ����� P� � ��� ����� ��������� ���� �� ���
���������
��� � ∈ N� ���������� ������� P� = P�� ���� � �� ��� ��� �� ���
��������������� ������ ��������� �� ��� ������ ����� � �+� �
������
������������� P� = (� �+� \ {�})/ ∼� ����� � ∼ � ��������
� = λ� ��� ���� λ ∈ � ∗ �
���������� ��������� ����
����
��� ���������� ���� P� ���� �� ��� �������������� ������� ����
����� A� �� ���������� ����� P� � ��� ����� ��������� ���� �� ���
���������
��� � ∈ N� ���������� ������� P� = P�� ���� � �� ��� ��� �� ���
��������������� ������ ��������� �� ��� ������ ����� � �+� �
������
������������� P� = (� �+� \ {�})/ ∼� ����� � ∼ � ��������
� = λ� ��� ���� λ ∈ � ∗ � � ����� �� P� ���� ����� ��
(�� , . . . , �� ) ∈ � �+� � �� ������� �� [�� : · · · : �� ]�
�� ���� � ���������� π : A�+� \ {�} → P� ����� ��
(�� , . . . , �� ) �→ [�� : · · · : �� ]�
���������������� �� ���������
���� �����
���� ����� ������ ���� ���������� ����� �� ��� ��� �� �� ���
������ ���� �� �= ��
���������������� �� ���������
���� �����
���� ����� ������ ���� ���������� ����� �� ��� ��� �� �� ���
������ ���� �� �= �� ��� ������� �� ���� ��� ����� ��� ����
������������ ( ���� , . . . , ���� ) �� � ����� [�� : · · · : �� ] �� �� �
���������������� �� ���������
���� �����
���� ����� ������ ���� ���������� ����� �� ��� ��� �� �� ���
������ ���� �� �= �� ��� ������� �� ���� ��� ����� ��� ����
������������ ( ���� , . . . , ���� ) �� � ����� [�� : · · · : �� ] �� �� � ��
���� �������� �� ���� A� �
���������������� �� ���������
���� �����
���� ����� ������ ���� ���������� ����� �� ��� ��� �� �� ���
������ ���� �� �= �� ��� ������� �� ���� ��� ����� ��� ����
������������ ( ���� , . . . , ���� ) �� � ����� [�� : · · · : �� ] �� �� � ��
���� �������� �� ���� A� �
���������� �� �������
��� ��� �∞ = P� \ �� �� � ���� �� P�−� � ������ ��� ����������
�� ��������
��������� ����
���� ���� � (� ) = � �����
��������� ����
���� ���� � (� ) = � �����
����������� �����������
� ���������� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� �� ������ � ��
� (λ�� , . . . , λ�� ) = λ� � (�� , . . . , �� ) ��� ���� λ ∈ � ∗ �
��������� ����
���� ���� � (� ) = � �����
����������� �����������
� ���������� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� �� ������ � ��
� (λ�� , . . . , λ�� ) = λ� � (�� , . . . , �� ) ��� ���� λ ∈ � ∗ �
������������� ��� ��������� �� � ���� ����� ������ � �
��������� ����
���� ���� � (� ) = � �����
����������� �����������
� ���������� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� �� ������ � ��
� (λ�� , . . . , λ�� ) = λ� � (�� , . . . , �� ) ��� ���� λ ∈ � ∗ �
������������� ��� ��������� �� � ���� ����� ������ � �
���������
��� ��� ��� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� ������������
��� ���������� ���� ����� � (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ���
� ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ��� � ∈ � �
��������� ����
���� ���� � (� ) = � �����
����������� �����������
� ���������� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� �� ������ � ��
� (λ�� , . . . , λ�� ) = λ� � (�� , . . . , �� ) ��� ���� λ ∈ � ∗ �
������������� ��� ��������� �� � ���� ����� ������ � �
���������
��� ��� ��� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� ������������
��� ���������� ���� ����� � (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ���
� ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ��� � ∈ � �
� ��� �� ��� ���� � (� ) ��� ���� ��� �� �����������
����������� �� ������ � ���������� ��������� ����
��������� ����
���� ���� � (� ) = � �����
����������� �����������
� ���������� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� �� ������ � ��
� (λ�� , . . . , λ�� ) = λ� � (�� , . . . , �� ) ��� ���� λ ∈ � ∗ �
������������� ��� ��������� �� � ���� ����� ������ � �
���������
��� ��� ��� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ����������� ������������
��� ���������� ���� ����� � (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ���
� ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ��� � ∈ � �
� ��� �� ��� ���� � (� ) ��� ���� ��� �� �����������
����������� �� ������ � ���������� ��������� ����
�� ���� ��� ��� ���������� � ��� ���������� ��� � ��� ����
��������� ���� �������� ��������� ����� �� �� ��������
������ �����
������ �����
��� ���� � = � [�� , . . . , �� ] �� � ������ �����
������ �����
��� ���� � = � [�� , . . . , �� ] �� � ������ �����
(� , +) =
�
� ∈N ��
���
�� �� ⊂ �� +�
����� ��� ����������� �������� �� ������ � ��� ���
����������� ����������� �� ������ � �
������ �����
��� ���� � = � [�� , . . . , �� ] �� � ������ �����
(� , +) =
�
� ∈N ��
���
�� �� ⊂ �� +�
����� ��� ����������� �������� �� ������ � ��� ���
����������� ����������� �� ������ � � �� �� �� ���� � ������
� ��������� ���� ⊂ �� ��
������ �����
��� ���� � = � [�� , . . . , �� ] �� � ������ �����
(� , +) =
�
� ∈N ��
���
�� �� ⊂ �� +�
����� ��� ����������� �������� �� ������ � ��� ���
����������� ����������� �� ������ � � �� �� �� ���� � ������
� ��������� ���� ⊂ �� ��
����������� ������������� � =
�
�� , �� ∈ �� �
������ ������
������ ������
�����������
��� �� ����� � �� � ������ ���� � � ��� ��������� ��� �����������
�� � �� ��������� �� ����������� ���������
�
��� �� � ∈ � ���� ����������� ������������� � = �� �
���� �� ∈ � ��� ��� � �
������ ������
�����������
��� �� ����� � �� � ������ ���� � � ��� ��������� ��� �����������
�� � �� ��������� �� ����������� ���������
�
��� �� � ∈ � ���� ����������� ������������� � = �� �
���� �� ∈ � ��� ��� � �
�� ����� �� � ������ ���� ���������� ����� ���������� �� ������ �
������ �� ����������� ������
������ ������
�����������
��� �� ����� � �� � ������ ���� � � ��� ��������� ��� �����������
�� � �� ��������� �� ����������� ���������
�
��� �� � ∈ � ���� ����������� ������������� � = �� �
���� �� ∈ � ��� ��� � �
�� ����� �� � ������ ���� ���������� ����� ���������� �� ������ �
������ �� ����������� ������
�����������
�������������� ��������� ���� ��� �������� �� ������ ������ ���
�������
���� ���� �� ������ ������
���������
��� � ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��� ���������� ���� �����
� (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ��� � ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ���
����������� � ∈ �
���� ���� �� ������ ������
���������
��� � ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��� ���������� ���� �����
� (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ��� � ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ���
����������� � ∈ �
����� � (� ) = � (� )� �� � �� � ��� �� ����������� �����������
���� ���� �� ������ ������
���������
��� � ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��� ���������� ���� �����
� (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ��� � ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ���
����������� � ∈ �
����� � (� ) = � (� )� �� � �� � ��� �� ����������� �����������
���������
��� ��� ������ � ⊂ P� � ��� ��������� ����� � (� ) = �� (� ) �� �
�� ��� ����� ��������� �� ��� ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]
���� � (� ) = � ��� ��� � ∈ � �
���� ���� �� ������ ������
���������
��� � ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��� ���������� ���� �����
� (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ��� � ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ���
����������� � ∈ �
����� � (� ) = � (� )� �� � �� � ��� �� ����������� �����������
���������
��� ��� ������ � ⊂ P� � ��� ��������� ����� � (� ) = �� (� ) �� �
�� ��� ����� ��������� �� ��� ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]
���� � (� ) = � ��� ��� � ∈ � �
������
� ((�)) = P� � ����� � (� ) = ∅ ��������� ���� �� ⊂
�� = (�� , . . . , �� )�
√
� � �����
���� ���� �� ������ ������
���������
��� � ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��� ���������� ���� �����
� (� ) = �� (� ) �� ��� ��� �� ��� � ∈ P� ����� � (� ) = � ��� ���
����������� � ∈ �
����� � (� ) = � (� )� �� � �� � ��� �� ����������� �����������
���������
��� ��� ������ � ⊂ P� � ��� ��������� ����� � (� ) = �� (� ) �� �
�� ��� ����� ��������� �� ��� ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]
���� � (� ) = � ��� ��� � ∈ � �
������
� ((�)) = P� � ����� � (� ) = ∅ ��������� ���� �� ⊂
�� = (�� , . . . , �� )�
��������� ���� ��� ����������
√
� � �����
��� ������� ��������
�����������
��� � , � � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ������ �������
�� �� � ⊂ � � � ���� � (� ) ⊃ � (� � )�
��� � (�� � ) = � (� ∩ � � ) = � (� ) ∪ � (� � )�
���� � (� + � � ) = � (� ) ∩ � (� � )�
��� ������� ��������
�����������
��� � , � � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ������ �������
�� �� � ⊂ � � � ���� � (� ) ⊃ � (� � )�
��� � (�� � ) = � (� ∩ � � ) = � (� ) ∪ � (� � )�
���� � (� + � � ) = � (� ) ∩ � (� � )�
��������� ��� ��� �� ����������� �� ��� ����� ����������� ���
���� �� ��� ����������� �� ������ �������
��� ������� ��������
�����������
��� � , � � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ������ �������
�� �� � ⊂ � � � ���� � (� ) ⊃ � (� � )�
��� � (�� � ) = � (� ∩ � � ) = � (� ) ∪ � (� � )�
���� � (� + � � ) = � (� ) ∩ � (� � )�
��������� ��� ��� �� ����������� �� ��� ����� ����������� ���
���� �� ��� ����������� �� ������ �������
��� ������� ��������
��� ���������� ��������� ���� ��� ��� ������ ���� �� � ��������
�� P� � ��� ������� ���������
�������� P� �� A�+�
� ���� �� �� ���� ��������� ��� ∅ �= � ⊂ A�+� ������ �����
������ ���������������
�������� P� �� A�+�
� ���� �� �� ���� ��������� ��� ∅ �= � ⊂ A�+� ������ �����
������ ���������������
���������
��� π : A�+� \ {�} → P� �� ��� ����� �����������
� ��� ���� ���� � (� ) ���� � ���������� ��������� ���
� ⊂ P� �� ��� ���� � ∪ π −� (� ) ⊂ A�+� �
�������� P� �� A�+�
� ���� �� �� ���� ��������� ��� ∅ �= � ⊂ A�+� ������ �����
������ ���������������
���������
��� π : A�+� \ {�} → P� �� ��� ����� �����������
� ��� ���� ���� � (� ) ���� � ���������� ��������� ���
� ⊂ P� �� ��� ���� � ∪ π −� (� ) ⊂ A�+� �
� ��� ���������������� � (� ) �� � ���� � ⊂ A�+� �� ���
���������� ��������� ��� π(� \ {�}) ⊂ P� �
�������� P� �� A�+�
� ���� �� �� ���� ��������� ��� ∅ �= � ⊂ A�+� ������ �����
������ ���������������
���������
��� π : A�+� \ {�} → P� �� ��� ����� �����������
� ��� ���� ���� � (� ) ���� � ���������� ��������� ���
� ⊂ P� �� ��� ���� � ∪ π −� (� ) ⊂ A�+� �
� ��� ���������������� � (� ) �� � ���� � ⊂ A�+� �� ���
���������� ��������� ��� π(� \ {�}) ⊂ P� �
�����������
��� ���� � ��� � ����� ��� �������� ������� ����������
������� ��� ��� �� ����� �� A�+� ��� ��� ��� �� ����������
��������� ���� �� P� �
���������� ���������������
�������
�� ��� ��� ��������� � ⊂ P� � �� (�� (� ) = � �
��� √
��� ��� ����������� √
����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ����
� �= �� � �� (�� (� )) = � �
���������� ���������������
�������
�� ��� ��� ��������� � ⊂ P� � �� (�� (� ) = � �
��� √
��� ��� ����������� √
����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ����
� �= �� � �� (�� (� )) = � �
���� ��� ���� �� ��� �� ��� �������� �������� ����������
��������� ���������� ������� ��� ��� �� ��� ����������
��������� ���� �� P� ��� ��� ��� �� ����������� �������
������ �� � [�� , . . . , �� ] �������� ���� �� �
���������� ���������������
������ ���������� ���������
����������� ���������� �����
��� � ⊂ P� �� � ���������� ��������� ���� ��� �����������
���������� ���� �� � �� ��� ���� � (� ) = � [�� , . . . , �� ]/� (� )�
������ ���������� ���������
����������� ���������� �����
��� � ⊂ P� �� � ���������� ��������� ���� ��� �����������
���������� ���� �� � �� ��� ���� � (� ) = � [�� , . . . , �� ]/� (� )�
���� �� � ������ ���� �� ��� ����������
�����
�� � �� � ������ ����� �� � ������ ���� � � ���� � /� �� � ������
���� ���� ���������� ���������� �� /(�� ∩ � )�
������ ���������� ���������
����������� ���������� �����
��� � ⊂ P� �� � ���������� ��������� ���� ��� �����������
���������� ���� �� � �� ��� ���� � (� ) = � [�� , . . . , �� ]/� (� )�
���� �� � ������ ���� �� ��� ����������
�����
�� � �� � ������ ����� �� � ������ ���� � � ���� � /� �� � ������
���� ���� ���������� ���������� �� /(�� ∩ � )�
�������� �������
��� � ⊂ P� �� � ���������� ��������� ���� �� ��� ����� ���
���� ����� �� (� ) �� � �� � ������ ����� � ⊂ � (� )� ��� ���
��������� ����� �� (� ) �� � ������ � ⊂ � �
������ ���������� ���������
����������� ���������� �����
��� � ⊂ P� �� � ���������� ��������� ���� ��� �����������
���������� ���� �� � �� ��� ���� � (� ) = � [�� , . . . , �� ]/� (� )�
���� �� � ������ ���� �� ��� ����������
�����
�� � �� � ������ ����� �� � ������ ���� � � ���� � /� �� � ������
���� ���� ���������� ���������� �� /(�� ∩ � )�
�������� �������
��� � ⊂ P� �� � ���������� ��������� ���� �� ��� ����� ���
���� ����� �� (� ) �� � �� � ������ ����� � ⊂ � (� )� ��� ���
��������� ����� �� (� ) �� � ������ � ⊂ � � �� �� ��� ���� �����
� �������� ��������������� ������
�������� P� �� A�
��������
��� ���� ��� ��������� A� → P� ������ ��������������
�������� P� �� A�
��������
��� ���� ��� ��������� A� → P� ������ ��������������
��������
�� ���� ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ��������� �� �����
� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ���� ���� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
�������� P� �� A�
��������
��� ���� ��� ��������� A� → P� ������ ��������������
��������
�� ���� ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ��������� �� �����
� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ���� ���� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
�� ���� ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ��������� � ������ �����
� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ���� ���� �� (� ) = �� (� � ) ∩ A� �
�������� P� �� A�
��������
��� ���� ��� ��������� A� → P� ������ ��������������
��������
�� ���� ������ ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ��������� �� �����
� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ���� ���� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
�� ���� ����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ��������� � ������ �����
� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ���� ���� �� (� ) = �� (� � ) ∩ A� �
���� ���� �� ����� �� ������� ���� A� → P� �
(�� , . . . , �� ) �→ [� : �� : · · · : �� ] �� � ������������� ����������
������������������
����������������
��� � ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]� ��� ����������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = � (�, �� , . . . , �� )�
������������������
����������������
��� � ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]� ��� ����������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = � (�, �� , . . . , �� )�
��� ��� � �→ � � �� � ������������� �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��
� ������ ������ ���� ��� ���������������� � � = {� � | � ∈ � } ��
�� ����� �� � [�� , . . . , �� ]�
������������������
����������������
��� � ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]� ��� ����������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = � (�, �� , . . . , �� )�
��� ��� � �→ � � �� � ������������� �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��
� ������ ������ ���� ��� ���������������� � � = {� � | � ∈ � } ��
�� ����� �� � [�� , . . . , �� ]� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
������������������
����������������
��� � ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]� ��� ����������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = � (�, �� , . . . , �� )�
��� ��� � �→ � � �� � ������������� �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��
� ������ ������ ���� ��� ���������������� � � = {� � | � ∈ � } ��
�� ����� �� � [�� , . . . , �� ]� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
��������������
��� � �= � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ������ � � ��� ��������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = ��� � ( ���� , . . . , ���� )�
������������������
����������������
��� � ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]� ��� ����������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = � (�, �� , . . . , �� )�
��� ��� � �→ � � �� � ������������� �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��
� ������ ������ ���� ��� ���������������� � � = {� � | � ∈ � } ��
�� ����� �� � [�� , . . . , �� ]� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
��������������
��� � �= � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ������ � � ��� ��������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = ��� � ( ���� , . . . , ���� )�
��� ���������� � � �� ������������ �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ��
������ ���� ��� �������������� � � = (� � | � �= � ∈ � ) �� �
������ ����� �� � [�� , . . . , �� ]�
������������������
����������������
��� � ����������� � ∈ � [�� , . . . , �� ]� ��� ����������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = � (�, �� , . . . , �� )�
��� ��� � �→ � � �� � ������������� �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] ��
� ������ ������ ���� ��� ���������������� � � = {� � | � ∈ � } ��
�� ����� �� � [�� , . . . , �� ]� �� (� ) ∩ A� = �� (� � )�
��������������
��� � �= � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� ������ � � ��� ��������������
� � ∈ � [�� , . . . , �� ] �� � � (�� , . . . , �� ) = ��� � ( ���� , . . . , ���� )�
��� ���������� � � �� ������������ �� � ⊂ � [�� , . . . , �� ] �� ��
������ ���� ��� �������������� � � = (� � | � �= � ∈ � ) �� �
������ ����� �� � [�� , . . . , �� ]� �� (� ) = �� (� � ) ∩ A� �
���������� �������
��������
���� �� ��� ������� �� �� (� � ) �� ����� �� �� (� )�
���������� �������
��������
���� �� ��� ������� �� �� (� � ) �� ����� �� �� (� )�
�����������
��� � = �� (� ) ⊂ A� ⊂ P� �� �� ���� ��������� ��� ���� ��
����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]�
���������� �������
��������
���� �� ��� ������� �� �� (� � ) �� ����� �� �� (� )�
�����������
��� � = �� (� ) ⊂ A� ⊂ P� �� �� ���� ��������� ��� ���� ��
����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ���� ��� ������� � �� � �� P� ��
�� (� � )�
���������� �������
��������
���� �� ��� ������� �� �� (� � ) �� ����� �� �� (� )�
�����������
��� � = �� (� ) ⊂ A� ⊂ P� �� �� ���� ��������� ��� ���� ��
����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ���� ��� ������� � �� � �� P� ��
�� (� � )� �� �������� � = (� ) �= (�)� ���� � = �� (� � )�
���������� �������
��������
���� �� ��� ������� �� �� (� � ) �� ����� �� �� (� )�
�����������
��� � = �� (� ) ⊂ A� ⊂ P� �� �� ���� ��������� ��� ���� ��
����� � ⊂ � [�� , . . . , �� ]� ���� ��� ������� � �� � �� P� ��
�� (� � )� �� �������� � = (� ) �= (�)� ���� � = �� (� � )�
������
��� ���������� ��������� ��� � = �� (� � ) �� ��� ����������
������� �� � � �������� �� ������ ��� ���������� ������ ��
�������� �� ���� � ���� � ���������� ��������� ����
��������� ���������
������ �������
����������� ������� ��� ��������� ��������
������� ����������� ����
���������
�����������
� ������������������������� �������� ���� �������� �� �
���������� ����������� ����� ������� �� ���� ����
������������������������� �� ���� ������
���������
�����������
� ������������������������� �������� ���� �������� �� �
���������� ����������� ����� ������� �� ���� ����
������������������������� �� ���� ������ ��������� ���
�������� ���� ����� ��������� ��������
���������
�����������
� ������������������������� �������� ���� �������� �� �
���������� ����������� ����� ������� �� ���� ����
������������������������� �� ���� ������ ��������� ���
�������� ���� ����� ��������� ��������
������ ���� ���� ������� �� ���� ��������� ��� ������� ��
��������� ���� �������� ����� ��� ���������� ���� ����������
���������
�����������
� ������������������������� �������� ���� �������� �� �
���������� ����������� ����� ������� �� ���� ����
������������������������� �� ���� ������ ��������� ���
�������� ���� ����� ��������� ��������
������ ���� ���� ������� �� ���� ��������� ��� ������� ��
��������� ���� �������� ����� ��� ���������� ���� ����������
���� ��������� ��� ������ �������
���������
�����������
� ������������������������� �������� ���� �������� �� �
���������� ����������� ����� ������� �� ���� ����
������������������������� �� ���� ������ ��������� ���
�������� ���� ����� ��������� ��������
������ ���� ���� ������� �� ���� ��������� ��� ������� ��
��������� ���� �������� ����� ��� ���������� ���� ����������
���� ��������� ��� ������ �������
�� ��������� ������� ������ ��������� �� � ���������� ������
����� ������� �� ���� ���� ���������� �� ���� ����������
������������
���������
�� ����������� ���������� �� � ������ ����� � ���� ������ ��
���� ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� �� ���� ����������
������������
���������
�� ����������� ���������� �� � ������ ����� � ���� ������ ��
���� ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� �� ���� ����������
����
��� ����� �� ���� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� ����������
������������
���������
�� ����������� ���������� �� � ������ ����� � ���� ������ ��
���� ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� �� ���� ����������
����
��� ����� �� ���� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� ����������
��� ���� � �� �� ��� �����������
������������
���������
�� ����������� ���������� �� � ������ ����� � ���� ������ ��
���� ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� �� ���� ����������
����
��� ����� �� ���� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� ����������
��� ���� � �� �� ��� �����������
�������
��� ���� ������ A� \ {�} �� ��� ���� ����� A� � ����������
���� �� ��� �����
������������
���������
�� ����������� ���������� �� � ������ ����� � ���� ������ ��
���� ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� �� ���� ����������
����
��� ����� �� ���� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� ����������
��� ���� � �� �� ��� �����������
�������
��� ���� ������ A� \ {�} �� ��� ���� ����� A� � ����������
���� �� ��� �����
�� �������� ��� ���� ������ �� �� ���� ������� �� � �����������
������������
���������
�� ����������� ���������� �� � ������ ����� � ���� ������ ��
���� ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� �� ���� ����������
����
��� ����� �� ���� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� ����������
��� ���� � �� �� ��� �����������
�������
��� ���� ������ A� \ {�} �� ��� ���� ����� A� � ����������
���� �� ��� �����
�� �������� ��� ���� ������ �� �� ���� ������� �� � �����������
���� ���������� ���� ��������� ��� ����� ������������ ��� ��
����� ��������� �������� �� ���� �������������
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ �
�
�
�
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ � �
����������
�
�
�� −
,� = �� ,�
��� � ,
� �
�
�
�
◦ �� ,� = �� ,� �� �� ,� ∩ �� −
,� (�� ,� ) ⊂ �� ,�
��� ��� �������� � , � , � ∈ � �
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ � �
����������
�
�
�� −
,� = �� ,�
��� � ,
� �
�
�
�
◦ �� ,� = �� ,� �� �� ,� ∩ �� −
,� (�� ,� ) ⊂ �� ,�
��� ��� �������� � , � , � ∈ � �
��� � = (
�
�� )/ ∼� ����� ∼ �� ��� ����������� ��������
������ �� � ∼ �� ,� (� )�
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ � �
����������
�
�
�� −
,� = �� ,�
��� � ,
� �
�
�
�
◦ �� ,� = �� ,� �� �� ,� ∩ �� −
,� (�� ,� ) ⊂ �� ,�
��� ��� �������� � , � , � ∈ � �
��� � = (
�
�� )/ ∼� ����� ∼ �� ��� ����������� ��������
������ �� � ∼ �� ,� (� )� ������� ���� ι� : �� → � � � �→ � �
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ � �
����������
�
�
�� −
,� = �� ,�
��� � ,
� �
�
�
�
◦ �� ,� = �� ,� �� �� ,� ∩ �� −
,� (�� ,� ) ⊂ �� ,�
��� ��� �������� � , � , � ∈ � �
��� � = (
�
�� )/ ∼� ����� ∼ �� ��� ����������� ��������
������ �� � ∼ �� ,� (� )� ������� ���� ι� : �� → � � � �→ � �
���������� �
� (� ) ⊂ � ��
�� ��������� � ⊂ � ���� �� ι−
�
�
���� ��� ��� � ∈ � �
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ � �
����������
�
�
�� −
,� = �� ,�
��� � ,
� �
�
�
�
◦ �� ,� = �� ,� �� �� ,� ∩ �� −
,� (�� ,� ) ⊂ �� ,�
��� ��� �������� � , � , � ∈ � �
��� � = (
�
�� )/ ∼� ����� ∼ �� ��� ����������� ��������
������ �� � ∼ �� ,� (� )� ������� ���� ι� : �� → � � � �→ � �
���������� �
� (� ) ⊂ � ��
�� ��������� � ⊂ � ���� �� ι−
�
�
���� ��� ��� � ∈ � �
���� �
�� ������� � ��������� ����� O� ��
� (� ))}�
O� (� ) = {ϕ : � → � | ∀� : ι∗� (ϕ) ∈ O� (ι−
�
�
������
����� ������� ���� ������������ {� } ∈
���� ���� �������
�� ,� ⊂ �� � ��� ������������ �� ,� : �� ,� → �� ,� ��� ��� � , � ∈ � �
����������
�
�
�� −
,� = �� ,�
��� � ,
� �
�
�
�
◦ �� ,� = �� ,� �� �� ,� ∩ �� −
,� (�� ,� ) ⊂ �� ,�
��� ��� �������� � , � , � ∈ � �
��� � = (
�
�� )/ ∼� ����� ∼ �� ��� ����������� ��������
������ �� � ∼ �� ,� (� )� ������� ���� ι� : �� → � � � �→ � �
���������� �
� (� ) ⊂ � ��
�� ��������� � ⊂ � ���� �� ι−
�
�
���� ��� ��� � ∈ � �
���� �
�� ������� � ��������� ����� O� ��
� (� ))}�
O� (� ) = {ϕ : � → � | ∀� : ι∗� (ϕ) ∈ O� (ι−
�
�
���� � �� ��� ���������� �������� �� ������ (�� ) ����� (�� ,� )�
�������
� ����������� �������� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
�������
� ����������� �������� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
��,� : � �→ �� �
�������
� ����������� �������� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
��,� : � �→ �� �
��� ���������� �������� �� ������ �� ��� ���������� ���� P� �
�������
� ����������� �������� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
��,� : � �→ �� �
��� ���������� �������� �� ������ �� ��� ���������� ���� P� �
���������
������������ �� �� ������ � ����� � �� ������� �� = � ∈ �� ��
���������
������ ����� ���������
�� ��������� �� ������������ ��� ����� ��� ����� ��������� ��
������ �������
���������
������ ����� ���������
�� ��������� �� ������������ ��� ����� ��� ����� ��������� ��
������ ������� ���� ������������ ���� � ���� ����������� �� ���
�������� �� ������ �������
���������
������ ����� ���������
�� ��������� �� ������������ ��� ����� ��� ����� ��������� ��
������ ������� ���� ������������ ���� � ���� ����������� �� ���
�������� �� ������ �������
������� ������ �������� �� ���������
�� � ��� � ��� ������ ������ ��� � : � → � �� � ��� ��
����������� ������� ���� ���� � |� : �� → � �� � �������� ��
������ ������ ��� ���� ���� ����� {�� }� ∈� �� � � ���� � �� �
�������� �� ������ �������
�
���������
������ ����� ���������
�� ��������� �� ������������ ��� ����� ��� ����� ��������� ��
������ ������� ���� ������������ ���� � ���� ����������� �� ���
�������� �� ������ �������
������� ������ �������� �� ���������
�� � ��� � ��� ������ ������ ��� � : � → � �� � ��� ��
����������� ������� ���� ���� � |� : �� → � �� � �������� ��
������ ������ ��� ���� ���� ����� {�� }� ∈� �� � � ���� � �� �
�������� �� ������ �������
�
�������
��������� �� P� ����� ���� �� → �� , � �→ � �� �= � ��
�� ����������� �������
��� ���� ���� ��� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
�� ����������� �������
��� ���� ���� ��� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
��,� : � �→ � �
�� ����������� �������
��� ���� ���� ��� �������
�� = �� = A�
��,� = ��,� = A� \ {�}
��,� : � �→ � �
��� ��������
��� ��� ����� ���� �� → �� , � �→ � �� �= � � ��� � ����������
���� ����� ����
���������������
��� � = (� , O� ) �� � �����������
���������������
��� � = (� , O� ) �� � �����������
���� ���������������
��� ���� ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ���������
����� O� = O� |� �
���������������
��� � = (� , O� ) �� � �����������
���� ���������������
��� ���� ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ���������
����� O� = O� |� � ���� ����� ������� ������� ���� ��� ����
�� � ��� ���� �� � �
���������������
��� � = (� , O� ) �� � �����������
���� ���������������
��� ���� ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ���������
����� O� = O� |� � ���� ����� ������� ������� ���� ��� ����
�� � ��� ���� �� � �
������ ���������������
� ������ ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ��������� �����
O� ������ ��
O� (� ) = {ϕ : � → � | ϕ �� ������� ������� �� ���� � ∈ � }�
���������������
��� � = (� , O� ) �� � �����������
���� ���������������
��� ���� ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ���������
����� O� = O� |� � ���� ����� ������� ������� ���� ��� ����
�� � ��� ���� �� � �
������ ���������������
� ������ ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ��������� �����
O� ������ ��
O� (� ) = {ϕ : � → � | ϕ �� ������� ������� �� ���� � ∈ � }�
���� ϕ : � → � �� ������� ������� �� � ∈ � �� ����� �� �� ����
� ⊂ � ���������� � ��� ψ ∈ O� (� ) ���� ϕ|� ∩� = ψ|� ∩� �
���������������
��� � = (� , O� ) �� � �����������
���� ���������������
��� ���� ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ���������
����� O� = O� |� � ���� ����� ������� ������� ���� ��� ����
�� � ��� ���� �� � �
������ ���������������
� ������ ������ � ⊂ � �� � ���������� ���� ��� ��������� �����
O� ������ ��
O� (� ) = {ϕ : � → � | ϕ �� ������� ������� �� ���� � ∈ � }�
���� ϕ : � → � �� ������� ������� �� � ∈ � �� ����� �� �� ����
� ⊂ � ���������� � ��� ψ ∈ O� (� ) ���� ϕ|� ∩� = ψ|� ∩� �
���� ����� ��� ��������� � → � � ���������
���� �� �������
��� � : � → � �� � �������� �� �������������
���� �� �������
��� � : � → � �� � �������� �� �������������
������� ������
�� � �� �� ���� ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� �� ����
������������� �� � �
���� �� �������
��� � : � → � �� � �������� �� �������������
������� ������
�� � �� �� ���� ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� �� ����
������������� �� � �
�� � �� � ������ ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� � ������
������������� �� � �
���� �� �������
��� � : � → � �� � �������� �� �������������
������� ������
�� � �� �� ���� ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� �� ����
������������� �� � �
�� � �� � ������ ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� � ������
������������� �� � �
������ �����
�� � �� �� ���� ������������� �� � ������ ������������� �� � �
���� � (� ) �� �� ������� ��������
���� �� �������
��� � : � → � �� � �������� �� �������������
������� ������
�� � �� �� ���� ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� �� ����
������������� �� � �
�� � �� � ������ ������������� �� � � ���� � −� (� ) �� � ������
������������� �� � �
������ �����
�� � �� �� ���� ������������� �� � ������ ������������� �� � �
���� � (� ) �� �� ������� ��������
�������
����� �� �� ������� ������ �� ��������������� ���� ��� ��� ����
�� �������
��������� ���� ���������
�������� �� ��������� ����
������� �� � ⊂ A� ��� � ⊂ A� ��� ��������� ����� ���� �����
������� � × � ⊂ A�+� �� �� ��������� ����
��������� ���� ���������
�������� �� ��������� ����
������� �� � ⊂ A� ��� � ⊂ A� ��� ��������� ����� ���� �����
������� � × � ⊂ A�+� �� �� ��������� ���� �� �� �� ����
������� ����� ��� ������� ���������
��������� ���� ���������
�������� �� ��������� ����
������� �� � ⊂ A� ��� � ⊂ A� ��� ��������� ����� ���� �����
������� � × � ⊂ A�+� �� �� ��������� ���� �� �� �� ����
������� ����� ��� ������� ��������� ��� ���������� ����
π� : � × � → � ��� π� : � × � → � ��� ����������
��������� ���� ���������
�������� �� ��������� ����
������� �� � ⊂ A� ��� � ⊂ A� ��� ��������� ����� ���� �����
������� � × � ⊂ A�+� �� �� ��������� ���� �� �� �� ����
������� ����� ��� ������� ��������� ��� ���������� ����
π� : � × � → � ��� π� : � × � → � ��� ����������
�����������
��� � ��� � �� ���� ���������� ���� � × � �������� ���
��������� �������� �� ���������
��������� ���� ���������
�������� �� ��������� ����
������� �� � ⊂ A� ��� � ⊂ A� ��� ��������� ����� ���� �����
������� � × � ⊂ A�+� �� �� ��������� ���� �� �� �� ����
������� ����� ��� ������� ��������� ��� ���������� ����
π� : � × � → � ��� π� : � × � → � ��� ����������
�����������
��� � ��� � �� ���� ���������� ���� � × � �������� ���
��������� �������� �� ��������� ��� ��� ���� ������� � ���
��������� �� : � → � ��� �� : � → � ����� �� � ������
�������� � : � → � × � ���� �� = π� ◦ � ��� �� = π� ◦ � �
�������� �� ������������
�����������
��� � ��� � �� ������������� ���� ����� �� � ���������� � × �
���� ��������� π� : � × � → � ��� π� : � × � → � �
���������� ��� ��������� �������� �� ���������
�������� �� ������������
�����������
��� � ��� � �� ������������� ���� ����� �� � ���������� � × �
���� ��������� π� : � × � → � ��� π� : � × � → � �
���������� ��� ��������� �������� �� ��������� �� �� ������ �� ��
� ������ ������������
������������
�� � ���� � × � �� ��� ��������� ������� �� �����
�������� �� ������������
�����������
��� � ��� � �� ������������� ���� ����� �� � ���������� � × �
���� ��������� π� : � × � → � ��� π� : � × � → � �
���������� ��� ��������� �������� �� ��������� �� �� ������ �� ��
� ������ ������������
������������
�� � ���� � × � �� ��� ��������� ������� �� ����� �� ��� ���
���� ����� (�� × �� )� ,� � ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� ���
� = �� ∪ · · · ∪ �� ��� ������ �� ���� ���� �����
�������� �� ������������
�����������
��� � ��� � �� ������������� ���� ����� �� � ���������� � × �
���� ��������� π� : � × � → � ��� π� : � × � → � �
���������� ��� ��������� �������� �� ��������� �� �� ������ �� ��
� ������ ������������
������������
�� � ���� � × � �� ��� ��������� ������� �� ����� �� ��� ���
���� ����� (�� × �� )� ,� � ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� ���
� = �� ∪ · · · ∪ �� ��� ������ �� ���� ���� �����
��������� � × � �� ������ ��� ���� �� × �� ����� ��� ��������
���� �� ����� �������������
�������� �� ������������
�����������
��� � ��� � �� ������������� ���� ����� �� � ���������� � × �
���� ��������� π� : � × � → � ��� π� : � × � → � �
���������� ��� ��������� �������� �� ��������� �� �� ������ �� ��
� ������ ������������
������������
�� � ���� � × � �� ��� ��������� ������� �� ����� �� ��� ���
���� ����� (�� × �� )� ,� � ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� ���
� = �� ∪ · · · ∪ �� ��� ������ �� ���� ���� �����
��������� � × � �� ������ ��� ���� �� × �� ����� ��� ��������
���� �� ����� �������������� ��� π� ��� π� �� ������ ��������
��� ��������� �� × �� → �� ⊂ � ��� �� × �� → �� ⊂ � �
�������������
�������� �� ������������
�����������
��� � ��� � �� ������������� ���� ����� �� � ���������� � × �
���� ��������� π� : � × � → � ��� π� : � × � → � �
���������� ��� ��������� �������� �� ��������� �� �� ������ �� ��
� ������ ������������
������������
�� � ���� � × � �� ��� ��������� ������� �� ����� �� ��� ���
���� ����� (�� × �� )� ,� � ����� � = �� ∪ · · · ∪ �� ���
� = �� ∪ · · · ∪ �� ��� ������ �� ���� ���� �����
��������� � × � �� ������ ��� ���� �� × �� ����� ��� ��������
���� �� ����� �������������� ��� π� ��� π� �� ������ ��������
��� ��������� �� × �� → �� ⊂ � ��� �� × �� → �� ⊂ � �
������������� ����� ��� ��������� ���������
����������
��������
��� �� �� ������� ��� ���� ���� ������ �������
����������
��������
��� �� �� ������� ��� ���� ���� ������ �������
�����������
�� ��������� ��������� ��� �������� �� �� ���������
����������
��������
��� �� �� ������� ��� ���� ���� ������ �������
�����������
�� ��������� ��������� ��� �������� �� �� ��������� ���� ��
���������� �� Δ� = {(� , � ) | � ∈ � } ����� ������ �� � × �
����� ��� ������� ����������
����������
��������
��� �� �� ������� ��� ���� ���� ������ �������
�����������
�� ��������� ��������� ��� �������� �� �� ��������� ���� ��
���������� �� Δ� = {(� , � ) | � ∈ � } ����� ������ �� � × �
����� ��� ������� ���������� �� ����� ��� ���� ��� ���������
����������
��������
��� �� �� ������� ��� ���� ���� ������ �������
�����������
�� ��������� ��������� ��� �������� �� �� ��������� ���� ��
���������� �� Δ� = {(� , � ) | � ∈ � } ����� ������ �� � × �
����� ��� ������� ���������� �� ����� ��� ���� ��� ���������
���������
� ���������� � �� ��������� �� ��� ��������
Δ� = {(� , � ) | � ∈ � }
�� ������ �� � × � � � ��������� ���������� �� ������ ��
����������� ��������
����������
��������
��� �� �� ������� ��� ���� ���� ������ �������
�����������
�� ��������� ��������� ��� �������� �� �� ��������� ���� ��
���������� �� Δ� = {(� , � ) | � ∈ � } ����� ������ �� � × �
����� ��� ������� ���������� �� ����� ��� ���� ��� ���������
���������
� ���������� � �� ��������� �� ��� ��������
Δ� = {(� , � ) | � ∈ � }
�� ������ �� � × � � � ��������� ���������� �� ������ ��
����������� �������� ��������� ��� ������ ������� �������� ���
������������� ��������� �� ����������
��������� ���������
��������
�� ��� ���� ������� �� � ��������
��������� ���������
��������
�� ��� ���� ������� �� � ��������
��� ��� ���� �� ������ ������������� �� � ������� �� � �������
��������� ���������
��������
�� ��� ���� ������� �� � ��������
��� ��� ���� �� ������ ������������� �� � ������� �� � �������
������� �� ����������� ������������
��������� ���������
��������
�� ��� ���� ������� �� � ��������
��� ��� ���� �� ������ ������������� �� � ������� �� � �������
������� �� ����������� ������������
��� ��� ���� ���� ��� ������� �� ��� � ��������
��������� ���������
��������
�� ��� ���� ������� �� � ��������
��� ��� ���� �� ������ ������������� �� � ������� �� � �������
������� �� ����������� ������������
��� ��� ���� ���� ��� ������� �� ��� � ��������
������
���� � � ����������� � � �������� ��� � : � → � � ���������
��� ����� Γ� = {(� , � (� )) | � ∈ � } �� ������ �� � × � �
��������� ���������
��������
�� ��� ���� ������� �� � ��������
��� ��� ���� �� ������ ������������� �� � ������� �� � �������
������� �� ����������� ������������
��� ��� ���� ���� ��� ������� �� ��� � ��������
������
���� � � ����������� � � �������� ��� � : � → � � ���������
��� ����� Γ� = {(� , � (� )) | � ∈ � } �� ������ �� � × � �
�����������
���� � � ����������� � � �������� ��� � , � : � → �
���������� ��� ��� {� ∈ � |� (� ) = � (� )} �� ������ �� � �
A line l in Pn is a one-dimensional projective variety of the form l =
V (f1, …, fr), where each fi is (homogeneous) of degree 1.
a) Show that there are two disjoint lines in PM if and only if n > 3.
b) Show that if li and ly are two disjoint lines in P3 and a € P3 a point
not belonging to li u l2, then there exists a unique line containing a and
intersecting li and 12.
c) What further conditions need to be imposed for b) to be true in the affine
setting, with ly and ly two ordinary lines and a € A3 a point not belonging
to either?
Let (X, Ox) and (Y, Oy) be affine varieties over K. Recall that we have
constructed the affine variety X XY. Show that OxxY(XxY) = Ox(X) Oy(Y).?
For each of the following ideals J, determine whether or not C[T,X,Y]/J
is an integral extension ring of CT]. Having done that, interpret the statement
geometrically, comment on the dimension of V(J) and try to confirm your inter-
pretation by plotting the real points using a software of your choice.
a) J = (Y? – TX)
b) J= (Y? – TX, X3 – 12).
c) J = (Y2 – TX.T3 – XY).
Let (X, Ox) and (Y, Oy) be affine varieties over K. Recall that we have
constructed the affine variety X XY. Show that OxxY(XxY) = Ox(X) Oy(Y).?
A line l in Pn is a one-dimensional projective variety of the form l =
V (f1, …, fr), where each fi is (homogeneous) of degree 1.
a) Show that there are two disjoint lines in PM if and only if n > 3.
b) Show that if li and ly are two disjoint lines in P3 and a € P3 a point
not belonging to li u l2, then there exists a unique line containing a and
intersecting li and 12.
c) What further conditions need to be imposed for b) to be true in the affine
setting, with ly and ly two ordinary lines and a € A3 a point not belonging
to either?
For each of the following ideals J, determine whether or not CT,X,Y]/J
is an integral extension ring of C[T]. Having done that, interpret the statement
geometrically, comment on the dimension of V(J) and try to confirm your inter-
pretation by plotting the real points using a software of your choice.
a) J = (Y? – TX).
b) J= (YP-TX, X3-T2).
c) J= (Y2 – TX,T3 – XY).
Delivering a high-quality product at a reasonable price is not enough anymore.
That’s why we have developed 5 beneficial guarantees that will make your experience with our service enjoyable, easy, and safe.
You have to be 100% sure of the quality of your product to give a money-back guarantee. This describes us perfectly. Make sure that this guarantee is totally transparent.
Read moreEach paper is composed from scratch, according to your instructions. It is then checked by our plagiarism-detection software. There is no gap where plagiarism could squeeze in.
Read moreThanks to our free revisions, there is no way for you to be unsatisfied. We will work on your paper until you are completely happy with the result.
Read moreYour email is safe, as we store it according to international data protection rules. Your bank details are secure, as we use only reliable payment systems.
Read moreBy sending us your money, you buy the service we provide. Check out our terms and conditions if you prefer business talks to be laid out in official language.
Read more